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<!DOCTYPE html>

<title>Modus tollens</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Modus tollens</span></h1>

</header>

</div>

<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p><b>Modus tollens</b> (<a href="Lateinische_Sprache" class="mw-redirect" title="Lateinische Sprache">lateinisch</a> für „Modus des Aufhebens“, wörtlich: „aufhebender Modus“), eigentlich <b>Modus tollendo tollens</b> (in Abgrenzung zum <i><a href="Modus_ponendo_tollens" title="Modus ponendo tollens">Modus ponendo tollens</a></i>), ist eine Schlussfigur, die in etlichen <a href="Kalk%C3%BCl" title="Kalkül">Kalkülen</a> der klassischen <a href="Logik" title="Logik">Logik</a> als <a href="Schlussregel" title="Schlussregel">Schlussregel</a> verwendet wird. Er besagt, dass aus den Voraussetzungen „<i>Wenn <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span>, dann <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"></span>.</i>“ und „<i>Nicht <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.764ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle B}" loading="lazy"></span>.</i>“ auf „<i>Nicht <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span>.</i>“ geschlossen werden kann.

</p><p>Der lateinische Name <i>Modus tollendo tollens</i>, „durch Aufheben aufhebende Schlussweise“, erklärt sich daraus, dass es sich um eine Schlussfigur (<i>modus</i>) handelt, die bei gegebener erster Prämisse, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\rightarrow B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\rightarrow B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23efef033def56a67de7ded823f14626de26d174.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.121ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\rightarrow B}" loading="lazy"></span>, durch das „Aufheben“ (<i>tollendo</i>) des Satzes B, also durch das Setzen seiner Verneinung, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a8cf55d88686624cd054232a7cf1a6b7e6e84210.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.314ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \neg B}" loading="lazy"></span>, einen anderen Satz, nämlich <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.743ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A}" loading="lazy"></span>, ebenfalls „aufhebt“ (<i>tollens</i>), also zu seiner Verneinung, <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/195aae731102b36b14a902a091d04ac5c6a5af49.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.293ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \neg A}" loading="lazy"></span>, führt.

Der <i>Modus tollendo tollens</i> ist damit ein Gegenstück zum <i><a href="Modus_ponens" title="Modus ponens">Modus ponendo ponens</a></i>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Formen_und_Beispiel">Formen und Beispiel</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Als_Schlussform">Als Schlussform</h3></div>

<table>

<th>Schema</th>

<th>Beispiel

</th></tr>

<tr>

<td>

<td>

</td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\rightarrow B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23efef033def56a67de7ded823f14626de26d174.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.121ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\rightarrow B}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td>

</td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a8cf55d88686624cd054232a7cf1a6b7e6e84210.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.314ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \neg B}" loading="lazy"></span>

</td></tr>

<tr>

<td style="padding-right:1em; font-style:italic;">modus tollens

</td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/195aae731102b36b14a902a091d04ac5c6a5af49.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:3.293ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \neg A}" loading="lazy"></span>

</td></tr></tbody></table>

</td>

<td>

<td>

</td>

<td>Wenn es geregnet hat, ist die Straße nass.

</td></tr>

<tr>

<td>

</td>

<td>Die Straße ist nicht nass.

</td></tr>

<tr>

<td style="padding-right:1em; font-style:italic;">modus tollens

</td>

<td style="border-top: thin solid;">Es hat nicht geregnet.

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Als_Aussage">Als Aussage</h3></div>

<p>Obwohl der <i>Modus tollendo tollens</i> eine Schlussregel, also ein <a href="Metasprache" title="Metasprache">metasprachliches</a> Konzept ist, wird die Bezeichnung <i>Modus tollens</i> gelegentlich auch für <a href="Objektsprache" class="mw-redirect" title="Objektsprache">objektsprachliche</a> Ausdrücke der folgenden Gestalt verwendet:

</p><p><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (\neg B\land (A\rightarrow B))\rightarrow \neg A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (\neg B\land (A\rightarrow B))\rightarrow \neg A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1cd9cd7d16e07607995168561ea2c32cca869bef.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:23.544ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle (\neg B\land (A\rightarrow B))\rightarrow \neg A}" loading="lazy"></span>

</p><p>Aussagen dieser Form sind in den meisten aussagenlogischen Kalkülen Tautologien, d. h. immer wahr. Da aber Schlussregeln und Aussagen unterschiedliche Konzepte sind, ist es wissenschaftlich betrachtet nicht glücklich, die beiden Begriffe mit derselben Bezeichnung zu benennen. Generell ist die Vermischung von Objekt- und Metasprache problematisch.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Beweis">Beweis</h2></div>

<p>Die <a href="Logische_%C3%84quivalenz" title="Logische Äquivalenz">logische Äquivalenz</a> der Aussagen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle A\rightarrow B}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A\rightarrow B}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/23efef033def56a67de7ded823f14626de26d174.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.121ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle A\rightarrow B}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \neg B\rightarrow \neg A}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \neg B\rightarrow \neg A}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/afd90c91a390c62d42bf97d18790b60e4c440889.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:10.222ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \neg B\rightarrow \neg A}" loading="lazy"></span> folgt aus den Definitionen der <a href="Subjunktion" title="Subjunktion">Subjunktion</a> und der <a href="Negation" title="Negation">Negation</a>.

</p>

<td>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \Leftrightarrow }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/64812e13399c20cf3ce94e049d3bb2d85f26abcf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:2.324ex; height:1.843ex;" alt="{\displaystyle \Leftrightarrow }" loading="lazy"></span></th>

<th>¬A

</th></tr>

<tr>

<td>w

</td></tr>

<tr>

<td>w

</td></tr>

<tr>

<td>f

</td></tr>

<tr>

<td>f

</td></tr></tbody></table>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Bedeutung_des_Modus_tollens_für_eine_Falsifikation"><span id="Bedeutung_des_Modus_tollens_f.C3.BCr_eine_Falsifikation"></span>Bedeutung des <i>Modus tollens</i> für eine Falsifikation</h2></div>

<p>Nach dem <a href="Kritischer_Rationalismus" title="Kritischer Rationalismus">Kritischen Rationalismus</a> entspricht dem <i>Modus (tollendo) tollens</i> eine grundlegende Schlussweise der <a href="Wissenschaft" title="Wissenschaft">wissenschaftlichen</a> Forschung, nämlich die <a href="Falsifikation" title="Falsifikation">Falsifikation</a> einer Annahme unter bestimmten Bedingungen. Dabei sei A eine hypothetisch angenommene <a href="Theorie" title="Theorie">Theorie</a>, und B ein <a href="Beobachtungssatz" title="Beobachtungssatz">Beobachtungssatz</a>, der zwingend aus der Theorie zu folgern wäre. Wissenschaftliche Experimente haben Bedeutung für die Aufgabe, durch Beobachtungen festzustellen, ob die Voraussage eines Beobachtungssatzes erfüllt wird beziehungsweise ob dessen Aussage wahr oder falsch ist. Ist B falsch, dann auch die zugrundeliegende Theorie, die damit als falsifiziert gilt.

</p><p>In der Forschungspraxis sind die für ein derart naives Verständnis vorausgesetzten Bedingungen allerdings selten so gegeben, dass eine Theorie anhand einzelner Beobachtungsdaten verifiziert oder falsifiziert werden kann (siehe <a href="Duhem-Quine-These" title="Duhem-Quine-These">Duhem-Quine-These</a>). Insbesondere ist oft unklar, wie ein Nichteintreten vorausgesagter Beobachtungsdaten zu interpretieren ist, da hierfür Verschiedenes in Frage kommen kann.

</p>

<ul><li>War die Hypothese falsch? War die abgeleitete Folgerung nicht zwingend? War der Beobachtungssatz nicht eindeutig formuliert? War die Beobachtungssituation ungeeignet?</li></ul>

<ul><li>War der Versuchsaufbau falsch gewählt? War eine Hilfsannahme unzutreffend? War das für die statistische Auswertung benutzte Modell unangemessen? Oder liegt es an Fehlern bei Erhebung und Dokumentation von Messdaten?</li></ul>

<p><a href="Pierre_Duhem" title="Pierre Duhem">Duhem</a> erfasst die Problematik zu Beginn des 20. Jahrhunderts in folgender Weise:

</p>

<p>„Wenn die erwartete Erscheinung nicht auftritt, wird nicht nur der einzige strittige Lehrsatz widerlegt, sondern das ganze theoretische Gerüst, von dem der Physiker Gebrauch gemacht hat. Das Experiment lehrt uns bloß, daß unter allen Lehrsätzen, die dazu gedient haben, die Erscheinung vorauszusagen und zu konstatieren, daß sie nicht auftritt, mindestens einer ein Irrtum ist. Aber wo dieser Irrtum liegt, sagt es uns nicht.“

</p>

</blockquote>

</div><div class="cite" style="margin:-1em 0 1em 1em;">– <style data-mw-deduplicate="TemplateStyles:r261921330">

/* start https://de.wikipedia.org/ */

.mw-parser-output .Person{font-variant:small-caps}

/* end https://de.wikipedia.org/ */

</style><span class="Person h-card">P. Duhem</span>: <cite style="font-style:normal"><i>Ziel und Struktur der physikalischen Theorien</i><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></cite></div></div>

<p>Denn wissenschaftliche Forschung geht schrittweise und arbeitsteilig vor sich. Daher sind viele empirische Prüfungen mit verschiedenen Annahmen A und statistischen Modellen S nötig, um Hypothesen H mit hoher Wahrscheinlichkeit zu falsifizieren. Hierfür können A, S und H beispielsweise unterschiedliche <a href="A-priori-Wahrscheinlichkeit" title="A-priori-Wahrscheinlichkeit">a-priori-Wahrscheinlichkeiten</a> zugewiesen und nach empirischen Versuchen entsprechend angepasst werden (siehe <a href="Bayessche_Statistik" title="Bayessche Statistik">Bayessche Statistik</a>).<sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>

<ul><li><a href="Modus_ponens" title="Modus ponens">Modus ponens</a>, eigentlich <i>Modus ponendo ponens</i></li>

<li><a href="Modus_ponendo_tollens" title="Modus ponendo tollens">Modus ponendo tollens</a></li>

<li><a href="Modus_tollendo_ponens" title="Modus tollendo ponens">Modus tollendo ponens</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text"> Kapitel 10 (<i>Die physikalische Theorie und das Experiment</i>), Seite 19. Zur Ausgabe: Hrsg. v. Lothar Schäfer, nach der Übersetzung von F. Adler aus dem Jahr 1908. Meiner, Hamburg 1998 . (Französische Originalschrift: P. Duhem, <i>La théorie physique, son objet, sa structure</i>. (Chevalier, Revière) Paris 1906.) </span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Deborah Mayo: <cite style="font-style:italic">Statistical Inference as Severe Testing: How to Get Beyond the Statistics Wars</cite>. Cambridge University Press, Cambridge 2018, ISBN 978-1-107-05413-4, <span style="white-space:nowrap">S.<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>84<span style="display:inline-block;width:.2em"> </span>f</span>., <a href="Digital_Object_Identifier" title="Digital Object Identifier">doi</a>:<span class="uri-handle" style="white-space:nowrap"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://doi.org/10.1017/9781107286184">10.1017/9781107286184</a></span> (<a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.cambridge.org/core/books/statistical-inference-as-severe-testing/D9DF409EF568090F3F60407FF2B973B2">cambridge.org</a> [abgerufen am 18. Dezember 2021]).<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rfr_id=info:sid/de.wikipedia.org:Modus+tollens&rft.au=Deborah+Mayo&rft.btitle=Statistical+Inference+as+Severe+Testing%3A+How+to+Get+Beyond+the+Statistics+Wars&rft.date=2018&rft.doi=10.1017%2F9781107286184&rft.genre=book&rft.isbn=9781107054134&rft.pages=84+f.&rft.place=Cambridge&rft.pub=Cambridge+University+Press" style="display:none"> </span></span>

</li>

</ol></div><div><div class="zim-footer">

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</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>